LaTeX 公式演示

本文展示博客的 LaTeX 数学公式渲染能力。所有公式均通过 KaTeX 渲染，支持行内和块级两种模式。

什么是 LaTeX

LaTeX 是一种高质量的排版系统，尤其适合包含大量数学公式的文档。在 Web 上，我们使用 KaTeX 来实现快速渲染。

行内公式

爱因斯坦的质能方程 $E = mc^2$ 揭示了质量与能量的等价关系。

欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 被誉为数学中最美的公式，它将五个最重要的数学常数联系在一起。

无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 是巴塞尔问题的答案，由欧拉在1734年首次证明。

积分 $\int_0^\infty e^{-x} dx = 1$ 是伽马函数在整数点的特殊情形。

微积分基本定理

$$\frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt\right) = f(x)$$

这个定理建立了微分和积分之间的深刻联系，是现代分析学的基石。

高斯积分

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

高斯积分在概率论和统计学中极为重要，是正态分布的基础。

泰勒展开

函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的泰勒展开：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

常见函数的泰勒展开：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ $$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$$

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组是经典电动力学的基础，描述了电场和磁场的行为：

高斯定律（电场）：

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

高斯定律（磁场）：

$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

法拉第电磁感应定律：

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

安培-麦克斯韦定律：

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

在真空中，这些方程预言了以速度 $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ 传播的电磁波的存在。

线性代数

矩阵特征值方程：

$$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

行列式与迹：

$$\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i, \quad \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i$$

矩阵的奇异值分解（SVD）：

$$A = U \Sigma V^T$$

其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵。

概率论

贝叶斯定理：

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

正态分布的概率密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

总结

KaTeX 提供了接近 LaTeX 原生质量的数学公式渲染，加载速度比 MathJax 更快。在技术写作中，良好的数学排版能极大提升内容的专业性和可读性。